Арифметически-гармоническая средняя

Материал из Гуру — мира словарей и энциклопедий
Перейти к: навигация, поиск

Арифметически-гармоническая средняя

- А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю a 1 и гармоническую среднюю h 1, т. е. найдем a 1 = 1/2(a+h) и h 1 = 2ah/(a+h); таким же образом составим а 2 = 1/2(a1+h1) и h 2 = 2a1h1/(a1+h1) и т. д. Числа a, a 1, a2: и h, h 1, h2: будут представлять - первые убывающий ряд, вторые - возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, h 1 = 2ah/(a + h) = ah/a1, след. а 1h1 = ah; точно так же a 2h2 = a1h1 = ah, что треб. док., наконец, a nhn = h. Но а = h = b2, если b есть АН между а и h; итак, b = √ah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = √а. Итак, чтобы найти √a, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a 1 из а и 1 и гармоническую среднюю h 1 из а и 1; затем арифметическую среднюю a 2 из a 1 и h 1 и гармоническую среднюю h 2 из a 1 и h 1 и т. д., числа а i и h i будут быстро сходиться и стремиться к пределу = √а. Прим.

а = 2, h = 1   а 1 = 1.5000000  h1 = 1.3333333
а 2 = 1.4166666  h2 = 1.4117647
а 3 = 1.4142157  h3 = 1.4142114
а 4 = 1.4142136  h4 = 1.4142136,

итак, √2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.