Вероятностное пространство

Материал из Гуру — мира словарей и энциклопедий
Перейти к: навигация, поиск

Вероя́тностное простра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплине.

Определение[править]

Вероятностное пространство — это тройка <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P})</math>, где

  • <math>\Omega \ </math> — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
  • <math>\mathcal{F}</math> — сигма-алгебра подмножеств <math>\Omega \ </math>, называемых (случайными) событиями;
  • <math>\mathbf{P}</math> — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что <math>\mathbf{P}(\Omega) = 1</math>.

Конечные вероятностные пространства[править]

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть <math>\Omega \ </math> суть конечное множество, содержащее <math>\vert \Omega \vert = n</math> элементов. В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство всех подмножеств <math>\Omega \ </math>. Его часто символически обозначают <math>2^{\Omega} \ </math>. Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно <math>2^{\vert \Omega \vert}</math>, что объясняет обозначение. Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

<math>\mathbf{P}(A) = \frac{n_A}{n}</math>,

где <math>A\subset \Omega</math>, и <math>\vert A \vert = n_A</math> - число элементарных исходов, принадлежащих <math>A \ </math>. В частности вероятность любого элементарного события:

<math> \mathbf{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \in \Omega.</math>

Пример[править]

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Тогда естественным способом задать вероятностное пространство будет взять <math>\Omega=\{0,1\}, \mathcal{F} = \{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset\}</math> и определить вероятность следующим образом:

<math> \mathbf{P}(\{0\}) = \frac{1}{2},\; \mathbf{P}(\{1\}) = \frac{1}{2},\; \mathbf{P}(\{0,1\}) = 1,\; \mathbf{P}(\emptyset) = 0. </math>


См.также[править]