Математическое ожидание

Материал из Гуру — мира словарей и энциклопедий
Перейти к: навигация, поиск

Математическое ожидание, среднее значение — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для дискретной случайной величины <math>\xi</math>, которая принимает значения <math>x_1,\ldots,x_n,\ldots</math> с вероятностями <math>p_1,\ldots,p_n,\ldots</math> определяется формулой

<math>{\rm E}\xi = \sum_{k} x_k p_k</math>

при условии, что ряд сходится; для непрерывной случайной величины <math>\xi</math>, имеющей плотность вероятности <math>f(x)</math> — определяется формулой

<math>{\rm E}\xi = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx</math>

при условии, что интеграл сходится абсолютно; характеризует расположение значений случайной величины на числовой оси — эта роль математического ожидания полностью разъясняется законом больших чисел; при сложении случайных величин и умножении на константу их математические ожидания складываются и умножаются на ту же константу; однако при умножении случайных величин их математические ожидания перемножаются, только если случайные величины независимы.

Происхождение[править]

Термин «математическое ожидание» введён [[Пьер Симон маркиз де Лаплас|Пьером Лапаласом}}(1795) и произошёл от понятия «ожидаемого значения выигрыша», впервые появившегося (XVII в.) в теории азартных игр в трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса. Однако первое полное теоретическое осмысление и оценка этого понятия даны Пафнутием Львовичем Чебышёвым (середина XIX в.).

Экстремальные свойства[править]

Математическое ожидание <math>{\rm E}\xi</math> случайной величины <math>\xi</math> минимизирует средний квадрат её отклонения:

<math>{\rm E}(\xi-{\rm E}\xi)^2 = \min_a {\rm E}(\xi-a)^2.</math>

В механике[править]

Формальная механическая аналогия математическому ожиданию распределения вероятностей — центр тяжести распределения масс.

Литература[править]

  • Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.

См.также[править]



Статья из Большой советской энциклопедии

В статье использованы материалы из Большой советской энциклопедии.
В Гуру энциклопедии осуществляется проект «Энциклопедия в энциклопедии», целью которого является сохранение оригинального текста статей из Большой советской энциклопедии.
Если Вы хотите написать новую статью, совпадающую с названием статьи, обратитесь к администрации сайта.