Мода (в теории вероятностей)

Материал из Гуру — мира словарей и энциклопедий
Перейти к: навигация, поиск

Мода (от лат. modus — мера, способ, правило) — одна из числовых характеристик распределения вероятностей случайной величины; для случайной величины, имеющей плотность вероятностей <math>f(x)</math> определяется как любая точка максимума <math>f(x)</math>; определяется и для распределений, не имеющих плотности: например мода дискретной случайной величины — любое её значение, имеющее вероятность, равную максимальной вероятности; иногда под модой случайной величины <math>\xi</math> понимают точку, где достигается абсолютный максимум её плотности вероятности или вероятностей её значений — главное значение моды, обозначаемое <math>{\rm Mod}\xi</math>; менее употребительная характеристика распределения, чем математическое ожидание и медиана.

Распределения с одной, двумя или большим числом мод называются соответственно унимодальными (одновершинными), бимодальными или мультимодальными.

Унимодальные распределения[править]

В теории вероятностей и математической статистике наиболее используемыми являются унимодальные распределения. Для унимодальных распределений, симметричных относительно некоторой точки <math>a</math>, мода равна <math>a</math> и совпадает с медианой и математическим ожиданием, если последнее существует. Если распределение случайной величины <math>\xi</math> унимодально и непрерывно, то для любого <math>\varepsilon > 0</math>

<math>\mathbf{P} \Big( |\xi-{\rm Mod}\xi| \geq \varepsilon \tau \Big) \leq \frac{4}{9 \varepsilon^2},</math>

где <math>{\rm Mod}\xi</math> — мода случайной величины <math>\xi</math>, а <math>\tau^2 = {\rm E}|\xi-{\rm Mod}\xi|.</math>

Экстремальные свойства[править]

Мода <math>{\rm Mod}\xi</math> случайной величины <math>\xi</math> минимизирует её среднее отклонение в дискретной метрике:

<math>{\rm E} d(\xi,{\rm Mod}\xi) = \min_a {\rm E}d(\xi,a),</math>

где <math>d(a,b) = 0</math>, если <math>a = b</math>, и <math>d(a,b) = 1</math>, если <math>a \not= b.</math>

Литература[править]

  • Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215—310.

См.также[править]

«Мода» имеет и другие значения...


Статья из Большой советской энциклопедии

В статье использованы материалы из Большой советской энциклопедии.
В Гуру энциклопедии осуществляется проект «Энциклопедия в энциклопедии», целью которого является сохранение оригинального текста статей из Большой советской энциклопедии.
Если Вы хотите написать новую статью, совпадающую с названием статьи, обратитесь к администрации сайта.