Функция распределения

Материал из Гуру — мира словарей и энциклопедий
Перейти к: навигация, поиск

Функция распределения, функция распределения вероятности, функция распределения случайной величины <math>\xi</math> — функция <math>F(x)</math> действительного переменного <math>x \in \mathbb{R}</math>, принимающая при каждом <math>x</math> значение, равное вероятности <math>\mathbf{P}(\xi < x)</math> события <math>\{\omega: \xi(\omega) < x \} \subseteq \Omega</math>; обладает следующими свойствами:

  1. <math>F(x_1)\leq F(x_2)</math> при <math>x_1 \leq x_2;</math>
  2. <math>F(x)</math> непрерывна слева при каждом <math>x \in \mathbb{R};</math>
  3. <math>\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \ \ \ \lim_{x \to \infty} F(x) = 1.</math>.

Иногда функцию распределения определяют как вероятность события <math>\{\omega: \xi(\omega) \leq x \} \subseteq \Omega</math> (что эквивалентно), но тогда она непрерывна справа.

Каноническое разложение функции распределения[править]

Любая функция распределения разложима на сумму трёх слагаемых — представима в виде их выпуклой линейной комбинации:

<math>F(x)=a_1 F_1(x)+ a_2 F_2(x)+ a_3 F_3(x)</math>

<math>(a_1 \geq 0, a_2 \geq 0, a_3 \geq 0, \ a_1+a_2+a_3=1),</math> где

<math>F_1(x)=\int_{-\infty}^x f(x)dx</math>

— абсолютно непрерывная функция распределения;

<math>F_2(x)=\sum_{x_n < x} p_n</math>

— «ступенчатая» функция распределения (<math>x_n</math> — точки скачков, <math>p_n</math> — размеры скачков);

<math>F_3(x)</math>

— «сингулярная» функция распределения (непрерывная функция, производная которой почти всюду равна нулю);

См.также[править]